\chapter{Funzioni complesse di variabile complessa}
Parte reale e parte immaginaria di una funzione complessa. Esempi. La topologia euclidea di $\C$. Nozione di limite, di continuità. Funzioni olomorfe. Operazioni con le derivate, derivata di una funzione composta, derivata di una funzione inversa. Relazioni di Cauchy-Riemann.
Esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe. Funzioni intere. Funzioni armoniche. Funzioni olomorfe aventi derivata non nulla come funzioni conformi.

\section{Campo dei numeri complessi}
La struttura di campo estesa dei numeri complessi è isomorfa alle coppie di numeri reali:  $\C \simeq \R^2$. Un possibile rappresentazione è quella cartesiana definita dalla parte reale e coefficiente della parte immaginaria di $z$
\[ z=x+\imath y \]
e dalla parte immaginaria definita come $\imath^2=-1$ soluzione dell'equazione di $2^o$ grado non presente in $\R$.

Il campo dei reali si immerge nel campo complesso $\R\subset\C$
\[ \forall x\in\R\quad x\in\R\mapsto x+\imath 0 \in\C\]

Il campo $\C$ estende la struttura di campo di $\R$ ma le operazioni di $+$ e $\cdot$ non sono compatibili con la relazione di ordinamento valida in $\R$:
\[ x \leq y \\ x + c \leq y + c \quad \forall c\in\R \\ c \cdot x \leq c\cdot y \quad c\geq 0\]

Il campo $\C$ non è un campo ordinato pertanto non è isomorfo ad $\R$. L'applicazione bigettiva da $\R$ a $\R^2$ è possibile ma non è possibile trovare una isomorfia da $\C$ a $\R$.

L'analisi di funzione reale in variabile reale studia in generale $f\colon A\subset\R^n\to\R^m$.

L'analisi di funzione complessa in variabile complessa studia $f\colon A\subset\C\to\C$.

Essendo il campo $\C$ bigettivo a $\R^2$ la funzione $f$ può essere vista per alcuni aspetti come il caso particolare di funzione da $A\subset\R^2$ in $\R^2$.

Le funzioni complesse sono definite su aperti connessi
\[ f\colon\Omega\in\C\to\C\]
Gli aperti connessi in $\C$ a livello topologico sono isomorfi a dischi centrati in un punto, connessi ovvero comunque presi due punti esiste una spezzata tutta contenuta nell'aperto connesso che li connette.

Definita una curva $\gamma$ in $\C$: $\gamma\colon A\subset\R\to\C$, dove $A$ è un intervallo $[a,b]$, si definisce una curva integrale \[\int h(t) e^{\omega t} \diff{t}  \]
dove $h(t)$ è una funzione reale, $e^{\omega t}$ l'esponenziale complesso, $\omega$ parametro, $t\in\R$.


\section{Rappresentazione cartesiana} 
La \textsc{rappresentazione cartesiana} è definita dalla coppia dei numeri reali che costituiscono la parte reale e coefficiente della parte immaginaria di $z$
\[ z=x+\imath y \]

\begin{definizione}
Si chiamano \textsc{parte reale} e \textsc{parte immaginaria} di $f\colon A\to\C$ le componenti di $f$, come funzione da $A$ in $\R^2$, ossia le funzioni
\[ \Re f\colon A\to\R \quad \Re f(z) = \Re(f(z)) \]
\[\Im f\colon A\to\R \quad \Im f(z) = \Im(f(z)) \]
e scrivere $f$ come somma delle due componenti
\[ f= \Re f +\imath \Im f \]
poiché $f(z)= \Re f(z) +\imath \Im f(z)$
\end{definizione}

\begin{figure}[!h]\begin{tikzpicture}
\draw [->](-0.5,0)--(2,0);
\draw [->](0,-0.5)--(0,2);
\fill (0,1) circle (0.05);
\fill (1.4,1.4) circle (0.05);
\draw [dashed](0,1.4)--(1.4,1.4)--(1.4,0);
\node at (0,1) [left] {$\imath$};
\node at (0,1.4) [left] {$y$};
\node at (1.4,0) [below] {$x$};
\node at (1.4,1.4) [right] {$z=x+\imath y\in\C$};
\end{tikzpicture}\end{figure}

\section{Rappresentazione polare} 
\begin{definizione}
Per ogni punto $z=x+\imath y$ nel piano $\C$ è definita la distanza dall'origine, modulo di $z$, \[\abs{z}=\sqrt{x^2+y^2}\] e l'angolo $\theta$ con l'asse $x$, si definisce la \textsc{rappresentazione polare}: 
\[ z=\abs{z}\cos\theta+\imath\abs{z}\sen\theta \]
\end{definizione}

\begin{figure}[!h]\begin{tikzpicture}
\draw [->](-0.5,0)--(2,0);
\draw [->](0,-0.5)--(0,1.8);
\fill (0,1) circle (0.05);
\fill (1.4,1.4) circle (0.05);
\draw (0,0)--(1.4,1.4);
\draw (1,0)[->, thick] arc (0:45:1);
\node at (0,1) [left] {$\imath$};
\node at (0.7,0.7) [above] {$\abs{z}$};
\node at (0.9,0.5) [right] {$\theta$};
\node at (1.4,1.4) [right] {$z\in\C$};
\end{tikzpicture}\end{figure}

\section{Rappresentazione esponenziale}
\begin{definizione}
Definito $e^{\imath\theta}:= \cos\theta+\imath\sen\theta$ si può scrivere la precedente nella \textsc{rappresentazione esponenziale}:
\[z=\abs{z}e^{\imath\theta}\]
\end{definizione}
I punti del piano sono individuati dalla distanza o modulo e dall'angolo o argomento.
Le rette che dall'origine intercettano il punto nel piano complesso sono definite per angoli con l'asse reale che differiscono di $k\cdot 2\pi$. 
\[ \abs{z},\,\Arg{z}+2k\pi\;k\in\Z\]

L'origine ha rappresentazione esponenziale $0$ (privo di angolo).



Se $\Re z>0$ 
\[\Arg(z)=\arctg\frac{y}{x}\]
\begin{figure}[!h]\begin{tikzpicture}
\draw [->](-1.5,0)--(1.5,0);
\draw [->](0,-1.5)--(0,1.5);
\fill (.707,.707) circle (0.05);
\pattern [pattern=north east lines] (-1.5,-1.5) [dashed] rectangle (0,1.5);
\draw (0,0)--(1,1);
\draw [dashed](0,0)--(1,-1.707);
\draw (1,0)[->, thick] arc (0:45:1);
\draw (1.1,0)[->, thick] arc (0:-60:1.1);
\node at (.75,.75) [right] {$z\in\C$};
\end{tikzpicture}\end{figure}
\begin{figure}
\centering
%\subfloat[][dida1] {fig1}
%\subfloat[][dida2] {fig2}
\end{figure}

Se $\Re z<0$ 
\[\Arg(z)=\arctg\frac{y}{x}+\pi\]
\begin{figure}[!h]\begin{tikzpicture}
\draw [->](-1.5,0)--(1.5,0);
\draw [->](0,-1.5)--(0,1.5);
\fill (-.707,.707) circle (0.05);
\pattern [pattern=north east lines] (0,-1.5) [dashed] rectangle (1.5,1.5);
\draw (-1,1)--(1,-1);
\draw (.9,0)[->, thick] arc (0:-45:.9);
\draw (.707,-.707)[->, thick] arc (-45:135:1);
\node at (-.75,.7) [left] {$z\in\C$};
\end{tikzpicture}\end{figure}

Ricordando che l'arcotangente è la funzione $\R\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
\begin{figure}[!h]\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis lines=middle,enlargelimits,domain=-pi:pi, xtick={-3.1415,3.1415},xticklabels={$-\pi$,$\pi$},yticklabels={}]
\addplot [domain=-pi+.5:pi-.5,samples=100,smooth,thick] {tan(x*90/pi)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}


\section{Operazioni somma e prodotto di numeri complessi}
\begin{definizione}
La somma di due numeri complessi in rappresentazione cartesiana
\[ z_1 + z_2 = (x_1+\imath y_1)(x_2+\imath y_2) = (x_1 + x_2)+\imath(y_1 + y_2)\]
\end{definizione}
\begin{definizione}
Il prodotto di due numeri complessi in rappresentazione cartesiana
\[ z_1 \cdot z_2 = (x_1+\imath y_1)(x_2+\imath y_2) = (x_1 x_2-y_1 y_2)+\imath(x_1 y_2 + y_1 x_2)\]
Nella rappresentazione esponenziale
\[ z_1\cdot z_2 = \abs{z_1} e^{\imath\theta_1} \cdot \abs{z_2} e^{\imath\theta_2} = \abs{z_1}\abs{z_2}e^{\imath(\theta_1+\theta_2)}\]
L'angolo $\theta=\theta_1+\theta_2$ è la selezione dell'argomento principale ovvero per  $x\neq 0$ l'angolo $\theta=\arctan\frac{y}{x} \tc \theta\in(-\pi,\pi]$.
\begin{figure}[!h]\begin{tikzpicture}
\draw [->](-0.5,0)--(2,0);
\draw [->](0,-0.5)--(0,1.8);
\fill (1.4,1.4) circle (0.05);
\draw (0,0)--(1.4,1.4);
\draw (1,0)[->, thick] arc (0:45:1);
\draw plot [variable=\t, domain=1:10]
(\t: \t/900);
\draw (1.5,0)[->, thick] arc (0:405:1.5);
\draw (0.5,0)[->, thick] arc (0:-315:0.5);
\node at (0.9,0.5) [right] {$\theta$};
\node at (0,-.5) [below] {$\theta-2\pi$};
\node at (1.4,-.5) [right] {$\theta+2\pi$};
\node at (1.4,1.4) [right] {$z\in\C$};
\end{tikzpicture}\end{figure}
\end{definizione}

\section{Operazioni potenza e radice ennesima di numeri complessi}
\begin{definizione}
La potenza $m$-esima, con $m\in\N$, del numero complesso $z=x+\imath y=\abs{z}e^{\imath\theta}$:
\[ z^m = (x+\imath y)^m = \abs{z}^m (e^{\imath\theta})^m = \abs{z}e^{\imath m\theta}\]

\end{definizione}

\begin{definizione}
La radice $n$-esima, con $n\in\N$, del numero complesso $z$ assume in $n$ soluzioni in $\C$ per $k=0,\dots,n-1$:
\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\abs{z}}e^{\imath\frac{\theta}{n}+k\frac{2\pi}{n}} \]
\end{definizione}

\section{Operazione esponenziale di numero complesso}
La funzione che mappa $\theta\mapsto e^{\imath\theta}$ associa per i $\theta\in(-\pi,\pi]$ tutti i punti sulla circonferenza di centro l'origine e raggio 1, aventi modulo unitario\footnote{Per il teo.\ref{formula:eulero} si ha la notevole formula di Eulero $e^{\imath\theta}=\cos\theta+\imath\sen\theta$}:
\[\abs{e^{\imath\theta}}=\abs{\cos\theta+\imath\sen\theta}=\sqrt{\cos^2\theta+\sen^2\theta}=1\]

\begin{figure}[!h]\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle(1);
\draw [->](-1.5,0)--(1.5,0);
\draw [->](0,-1.5)--(0,1.5);
\fill (0,1) circle (0.05);
\fill (1,0) circle (0.05);
\fill (0,-1) circle (0.05);
\fill (-1,0) circle (0.05);
\node at (1,0) [above right] {$e^{0\imath}=1$};
\node at (0,1) [above right] {$e^{\frac{\pi}{2}\imath}=\imath$};
\node at (-1,0) [above left] {$e^{\pi\imath}=-1$};
\node at (0,-1) [below right] {$e^{-\frac{\pi}{2}\imath}=\imath$};
\end{tikzpicture}\end{figure}

\begin{definizione}
La funzione esponenziale può essere definita usando la rappresentazione cartesiana\footnote{La funzione esponenziale definita come serie di potenze in Def. \ref{def:esponenziale}.}:
\[z\in\C\to e^z := e^{x+\imath y} := e^x e^{\imath y}\]

\end{definizione}

\section{Esempi di funzioni complesse}
\begin{esempio}
Funzione costante di costante valore $z_0$ mappa tutto il piano complesso un punto nell'immagine $z\in\C\mapsto z_0$: \[f(z)=z_0\in\C, \,\forall z\in\C\]
\end{esempio}
\begin{esempio}
Funzione identità $z_0$ mappa ad ogni punto del piano lo stesso punto nell'immagine $z\in\C\mapsto z$: \[f(z)=z,\,\forall z\in\C\]
\end{esempio}
\begin{esempio}
Funzione potenza intera di ordine k mappa $z\in\C\mapsto z^k$: \[f(z)=z^k,\,k\in\N\]
Se $k=0$ ho $z^0=1$ la funzione costante.
Se $k=1$ ho $z^1=z$ la funzione identità.
\end{esempio}
\begin{esempio}
Funzione lineare: \[f(z)=a_0 z,\,a_0\in\C,\,z\in\C\]
\[f(z)=a_0 z^k,\,a_0\in\C,z\in\C,\,k\in\N\]
\end{esempio}
\begin{esempio}
Funzione coniugo, simmetria del piano rispetto all'asse dei reali, mappa $z=x+\imath y\in\C\mapsto x-\imath y\in\C$: \[f(z)=\bar{z}, \,\forall z\in\C\]
\end{esempio}
\begin{esempio}
Funzione polinomio complesso di grado $m$ di coefficienti $a_i$: \[p\colon\C\to\C$, $(a_i)_{i\in{0,\dots,m}},\,a_m\neq 0\]
\[p(z)=\sum_{i=0}^{m}{a_i z^i}= a_0 + a_1 z + \dots + a_m z^m\]
\end{esempio}

\begin{esempio}
Funzione inversa:\footnote{Per la struttura di campo in $\C$ dato il numero complesso $b\neq 0$ il reciproco $b^{-1}$ esiste ed è unico ed è il numero tale che $b\cdot b^{-1}=1$, l'elemento neutro per la moltiplicazione.}
\[f(z)=\frac{1}{z}, \,\forall z\in\C\setminus\{0\}\]

\end{esempio}

\begin{esempio}
Funzione razionale in $\C$, rapporto di polinomi complessi $p(z), q(z)$, definita in tutti i punti in cui non si annulla $q(z)$: 
\[f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}, \, f\colon\C\setminus Z_q\to\C, Z_q=\{z\in\C, q(z)=0\}\]
\end{esempio}

\begin{esempio}
Curva in $\C$: \[h=h(t), \omega\in\C \\ t\in[a,b]\mapsto h(t)e^{\imath\omega t}\in\C \]
dove $w=w_1+\imath w_2$ e $e^{\imath\omega t}$ contribuisce in modulo e argomento secondo
\[e^{\imath t(w_1+\imath w_2)}=e^{\imath t w_1-t w_2}=e^{-t w_2}e^{\imath t w_1}\]

Ad esempio la curva circonferenza centro 0 raggio 1: \[t\in(-\pi,\pi)\mapsto e^{\imath t}=\cos t+\imath\sen t\]
\end{esempio}

\begin{esempio}
\'{E} possibile avere funzioni di variabile complessa $\C$ con immagine in $\R$, ad esempio con le funzioni parte reale $\Re f$ e $\Im f$ che estraggono le componenti di $f$.
\end{esempio}
\begin{esempio}
\'{E} possibile avere funzione vettoriale da $\R^2$ in $\R^2$ di componenti $\Re f$ e $\Im f$.

Ad esempio $f\colon z\mapsto z^2=(x+\imath y)^2=(x^2-y^2)+\imath 2xy$ è funzione di variabile complessa $f(z)$ che può esser vista come funzione vettoriale di due variabili reali $f(x+\imath y)$ da $\R^2$ in $\R^2$, con componenti $\Re f(x,y)=x^2-y^2$ e $\Im f(x,y)=2xy$.
\[f\colon\Omega\in\C\to\C \\ f = \Re f + \imath \Im f\]
\end{esempio}

\section{La topologia euclidea di $\C$.}
Si considerano gli intorni fondamentali. In generale l'intorno di un punto un insieme aperto che contiene un disco aperto di centro $z_0$ e raggio $r$.
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{disco aperto di centro $z_0
$ e raggio $r$} l'insieme \[\disk{z_0,r}=\{z\in\C\colon\abs{z-z_0}<r\}\]
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{disco bucato di centro $z_0
$ e raggio $r$} l'insieme \[\disk[']{z_0,r}=\{z\in\disk{z_0,r}\setminus\{z_0\}\}\]
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{disco chiuso di centro $z_0
$ e raggio $r$} l'insieme \[\disk{z_0,r}=\{z\in\C\colon\abs{z-z_0}\leq r\}\]
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{bordo del disco aperto di centro $z_0
$ e raggio $r$} l'insieme \[S(z_0,r)=\{z\in\C\colon\abs{z-z_0}=r\}\]
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{insieme aperto in $\C$} l'insieme $A\subset\C$ se ogni punto di A è un interno di A, ovvero se preso un disco di centro nel punto esso è tutto contenuto in A.
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{insieme chiuso} \dots
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{punto sulla frontiera} \dots
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{punto di accumulazione} \dots
{può non appartenere all'insieme}
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{punto isolato} \dots 
{intersezione con l'intorno si riduce al punto stesso}
\end{definizione}

\begin{definizione}
Si definisce \textsc{successione di punti in $\C$} 
\[\{a_n\}_{n\in\N}\subset\C\]
o sinteticamente $\{a_n\}$.
\end{definizione}

\begin{definizione}
Si richiama la definizione di \textsc{serie numerica} definita in \ref{def:serie_numerica}.
\end{definizione}


\section{Nozione di limite, di continuità.}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{limite della successione} il valore  
\[\lim_n a_n=\omega\in\C\]
\[\forall\varepsilon>0\;\exists\nu\in\N\tc\forall n>\nu\;\abs{a_n-\omega}<\varepsilon\]
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{limite della funzione in un punto}
\[f\colon A\subset\C,\;z_0\in D(A)\]
\[\lim_{z\to z_0} f(z)=\omega\in\C\]
\[\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\tc\forall z\in\disk{z_0,\delta}\cap{A\setminus\{z_0\}}\;\abs{f(z)-\omega}<\varepsilon\]
\[\lim_{z\to z_0}f(z)=\lim_{z\to z_0}{f(u+\imath v)}=\omega\in\C\iff
\begin{cases}
\lim_{z\to z_0}{u(z)}=\Re w \\
\lim_{z\to z_0}{v(z)}=\Im w 
\end{cases}
\]
\end{definizione}
\begin{definizione}
Si definisce \textsc{limite all'infinito} di funzione $f\colon A\subset\C\to\C$ se esiste il complementare di un disco $\complement\disk{0,r}\subset A$ per cui è finito il limite
\[\lim_{\abs{z}\to\infty}{f(z)}=\omega\in\C\]
ovvero se $\forall\varepsilon>0\;\exists r>0\tc\forall z\in A,\,\abs{z}>r\;\abs{f(z)-\omega}<\varepsilon$
\end{definizione}

\begin{definizione}[continuità]\label{def:continuita}\index{Funzione!continuit\'{a}}
Sia $f$ funzione definita in un aperto in $\C$
\[f\colon A\subset\C\to\C\]
Sia $z_0\in A$. $f$ si dice \textsc{continua} nel punto $z_0$ se
\begin{enumerate}
\item $z_0$ è un punto isolato $\implies f$ continua.
\item $z_0$ è un punto di accumulazione  $\implies$ posso calcolare il limite \[\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)\]
\end{enumerate}
\end{definizione}

\begin{definizione}[derivabilità]\label{def:derivabilita}\index{Funzione!derivabilit\'{a}}
Sia $f$ funzione definita in un aperto in $\C$
\[f\colon A\subset\C\to\C\]
$f$ si dice \textsc{derivabile} nel punto $z_0\in A$ se esiste il limite del rapporto incrementale in $z_0$\footnote{Le operazioni nel campo $\C$ del rapporto incrementale conducono ad un risultato più forte che in $\R$.}:
\[\exists\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} \\ h\in\disk[']{0,r} \]
o equivalentemente \footnote{Dim. topologica in $\R^2$}
\[\exists\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\\  \quad z\in\disk[']{z_0,r}\]
\begin{figure}[!ht]
\begin{tikzpicture}
\pattern [pattern=dots]
(1,0) ellipse [x radius=2, y radius=1.5];
\fill [white, draw=black] (1,0) circle (1);
\fill (1,0) circle (0.05);
\draw (1,0)--(.3,-.707);
\node at (.5,-.5) [above] {$h$};
\node at (1,0) [right] {$z_0$};
\node at (2,1.4) {$A$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\end{definizione}

\section{Operazioni con le derivate, derivata di una funzione composta, derivata di una funzione inversa.}
\begin{teorema} Siano $\substack{f\\g}\colon A\to\C,\; z_0\in\mathring{A},\;\substack{f\\g}$ derivabili in $z_0$   \footnote{la derivata in $\C$ si scrive come in $\R$: $f'(z) \quad \deriv{f}{z} \quad \Deriv{f}(z)$}

Tesi: 
La \textsc{derivata della funzione composta} $f\circ g $:
\[(f\circ g)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)\]
\begin{proof}
Si calcola il limite del rapporto incrementale
\[\frac{(f\circ g)(z_0+h)-(f\circ g)(z_0)}{h}\]
sommo e sottraggo $f(z_0+h)g(z_0)$ ho
$\frac{(f\circ g)(z_0+h)-f(z_0+h)g(z_0)+f(z_0)g(z_0)}{h}$
per la proprietà distributiva del $\cdot$ rispetto alla $+$ 
\[\frac{f(z_0+h)g(z_0+h)-f(z_0+h)g(z_0)}{h}+\frac{f(z_0+h)g(z_0)-f(z_0)g(z_0)}{h}\]
per la proprietà distributiva
\[\frac{f(z_0+h)[g(z_0+h)-g(z_0)]}{h}+\frac{[f(z_0+h)-f(z_0)]g(z_0)}{h}\]
essendo $f(z_0+h)$ derivabile\footnote{$f$ derivabile in $z_0\implies f$ continua in $z_0$ \[\lim_{z\to z_0} f(z)=f(z_0) \\f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+o(z-z_0)\quad \text{per} z\to z_0\] ovvero il limite di primo e secondo membro
\[\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)=o(z-z_0)\xrightarrow{z\to z_0}0\]
} è continua quindi passando al limite
\[\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)[g(z_0+h)-g(z_0)]}{h}+\frac{[f(z_0+h)-f(z_0)]g(z_0)}{h}=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)\]
\end{proof}
\end{teorema}

\begin{osservazione}[Operazioni con le derivate]
\[\Deriv{(f+g)}(z_0)=\Deriv{f}(z_0)+\Deriv{g}(z_0)\]

\[\Deriv{\left(\frac{f}{g}\right)}(z_0)=\frac{\Deriv{f}(z_0)g(z_0)+f(z_0)\Deriv{g}(z_0)}{g(z_0)^2}\]

\[\Deriv{(f\circ g)}(z_0)=\Deriv{f(g(z_0))}\cdot\Deriv{g}(z_0)\]
\end{osservazione}

\begin{esempio}
Funzione costante $f(z)=c \in\C$ è derivabile, il limite del rapporto incrementale è identicamente nullo.

Funzione identità $f(z)=z$ è derivabile, il limite del rapporto incrementale è identicamente uguale ad 1.

Funzione potenza $f(z)=z^n$ è derivabile, per induzione si vede che $\Deriv{(z^n)}=n\Deriv{(z^{n-1})}$, so che è vero per $n=1$, supposto vero per $n$ devo dimostrare che è vero per $n+1$, ma $z^{n+1}$ è derivabile infatti $\Deriv{(z^{n+1})}=\Deriv{(z z^n)}=(n+1) z^n$.
\end{esempio}

\begin{teorema}[di derivazione inversa]\label{teo:derivazione_inversa}
\dots
\end{teorema}

\section{Funzioni olomorfe.}
\begin{definizione}\label{fun:olomorfa}\index{Funzione!olomorfa}
Sia l'insieme aperto $A\subset\C$, sia la funzione $f$ definita $f\colon A\to\C$, $f$ si dice \textsc{olomorfa} in $A$ e si indica con $\holomorph{A}$ se è derivabile in ogni punto di $A$.
\end{definizione}

\begin{definizione}\label{fun:intera}\index{Funzione!intera}
Sia $f$ olomorfa su $\C$, $f$ si dice \text{intera}.
\end{definizione}
\begin{esempio}
Esempi di funzioni olomorfe su $\C$ quindi funzioni intere sono le funzioni costanti, identità, potenza, polinomi, esponenziali. 

In generale una funzione razionale è derivabile nel suo dominio di definizione che in generale non è l'intero campo $\C$ pertanto una funzione razionale in generale non è intera.
\end{esempio}


\section{Relazioni di Cauchy-Riemann.}
\begin{teorema}
$f\colon A\subset\C\to\C$, $A$ aperto, $f$ derivabile in $z_0\in A \iff \substack{u\\v}$ sono differenziabili in $z_0$ e verificano le \textsc{condizioni di Cauchy-Riemann}\label{teo:cond_Cauchy_Riemann}\index{Funzione olomorfa!condizioni Cauchy-Riemann}\footnote{Le condizioni di Cauchy-Riemann costituiscono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine lineare.}
\[\begin{cases}
\pderiv{u}{x}(z_0)=\pderiv{v}{y}(z_0)\\\pderiv{u}{y}(z_0)=-\pderiv{v}{x}(z_0)
\end{cases} \forall z\in A\]
\end{teorema}

\section{Esempi di funzioni olomorfe e non olomorfe.}
\section{Funzioni intere.}\index{Funzione!intera}
\section{Funzioni armoniche.}\index{Funzione!armonica}
\section{Funzioni olomorfe aventi derivata non nulla come funzioni conformi.}